考研数学（一）研究生考试模拟试题与参考答案

研究生考试考研数学（一）模拟试题与参考答案

一、选择题（本大题有10小题，每小题5分，共50分）

1、已知f(x)=|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2022|，则f(x)的最小值为()

A.2021^2B.1011^2C.10112021D.21011^2

本题考查了绝对值不等式的性质。

首先，我们考虑函数fx

由绝对值的三角不等式性质，我们有：

a+b≥a

x?1+x?2≥x

fx=x?1+x?

观察上述不等式，我们可以发现，当x位于相邻两个整数（如1和2，2和3，…，2021和2022）的中点时，这些不等式都会取等号。但是，由于有2021个这样的区间，我们不能找到一个单一的x值使得所有不等式都取等号。

然而，我们可以找到一个区间k,k+1（其中k是某个整数，1≤k≤2021），使得当

当x=1011时，我们可以将fx

f1011=1011?1+1011?2+

故答案为：B.10112

2、设随机变量X服从正态分布N(2,σ^2)，若P(Xa+2)=P(X6-a)，则a=_______．

答案：4

解析：

随机变量X服从正态分布N2,σ2，其中2是均值，

根据题目条件，有PX

由于正态分布曲线的对称性，这两个概率相等意味着a+2和6?

即，均值2是a+2和

根据中点公式，有：

a+2

a+2+6?a=48=4（注意：这里方程实际上是恒成立的，因为我们是通过对称性得到的这个方程。但我们可以从方程的形式中解出

因为a+2和6?a关于

解这个方程，得到：

a=4故答案为：

3、若函数f(x)={

(x-1)^2,x≤1

a(x-3),x1

}

是R上的减函数，则实数a的取值范围是_______．

答案：a

解析：

函数fx在R上是减函数，根据减函数的定义，对于任意的x1

首先，考虑x≤1的部分，函数fx=x?1

其次，考虑x1的部分，函数fx=ax?3是一个一次函数。若

最后，我们需要考虑两个分段函数在x=1处的连接情况。由于fx在R

1?12

但是，由于a必须小于0（保证x1时函数单调递减），并且我们还需要考虑更严格的条件来确保整体函数的单调性。考虑x稍微大于1的情况，例如

1.1?12

然而，这个不等式比a≤0更严格，但实际上我们只需要a≤0来保证x=1处的单调性。但是，为了更严谨地考虑整个函数的单调性，我们需要找到一个a的值，使得当x从1稍微增大时，前一个分段函数的值仍然大于后一个分段函数的值。由于x?12在x=1处的导数为0（即斜率从负变为0），而ax?3的斜率为a（恒为负），因此我们需要a的绝对值足够大，以使得ax?3在x

故答案为：a≤

4、已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ^2)，且P(ξ4)=0.9，则P(0ξ2)=_______．

首先，由于随机变量ξ服从正态分布N2,σ

已知Pξ

Pξ≥4=1?Pξ

设P0ξ

由于P0ξ4=P0

又因为P0ξ4=1?Pξ≤0=1?

最后，2x=0.5

故答案为：0.25。

5、设函数f(x)=(x^2-2x-3)e^x，则函数f(x)的单调递增区间是()

A.(-∞,-1)和(3,+∞)

B.(-1,3)

C.(-∞,0)

D.(0,+∞)

答案：D

解析：

首先，我们求出函数fx

利用乘法法则，有

f′x=

接下来，我们需要找出f′x

由f′x=x2?4ex0

解不等式x2?40

但由于ex的存在，我们实际上不需要考虑x?2的部分（因为即使x2?40，当x很小时，ex也会很小，从而f′x可能仍然很小或接近0，不保证函数单调递增）。而

然而，在本题中，我们注意到x2?4在x0时就已经非负，并且当x2时为正。同时，由于ex在x0时是增函数，所以f′

故答案为：D.0,

注意：虽然原始答案直接给出了x2作为单调递增区间的一部分，但考虑到ex的性质和x2?

6、设f(x)=(1/x)ln(1+x)，则f’(x)=_______．

本题主要考查导数的计算，具体涉及对数函数和幂函数的导数以及商的导数公式。

首先，我们有两个函数相乘，即ux=1

根据商的导数公式，有：

f′x=u′xvx

f′x

f′x=?

7、已知函数fx={x2+2x,

答案：(

解析：

首先，我们分析函数fx

当x≤0时，fx=x2+2x，这是一个开口向上的二次函数，对称轴为x=?1。因此，在区间

当x0时，fx=1x，这是一个反比例函数，在0,

接下来，我们考虑函数gx

由于gx有3个零点，那么函数y=f

观察函数fx

当k≤?1时，直线y=k与函数f

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