第1章-逻辑代数基础

1.2逻辑代数基础

1.2.1基本逻辑运算

1.2.2逻辑代数的基本公式

1.2.3逻辑代数的基本定理

1.2.4逻辑函数的表示方法

1.2.5逻辑函数的公式法化简

1.2.6逻辑代数的卡诺图化简

1.2.7具有无关项的逻辑函数及其化简

;1.2.1基本逻辑运算

逻辑代数的基本运算类型有三种：与、或、非。

1.与逻辑(与运算)

与逻辑表示的逻辑关系为：只有当决定某一事件结果的所有条件同时具备时，结果才可能发生。例如图1.1所示的电路中，只有在开关A和B同时闭合的条件下，灯F才会亮，其中任何一个开关断开，灯都不亮，这种因果关系称为与逻辑。;与逻辑的描述方法如下：

1)真值表

所谓真值表，就是将输入变量的所有可能的取值组合与其输出变量的取值一一对应列出的表格形式，真值表是描述逻辑电路功能的一种重要形式。如果将开关A、B闭合记为1，断开记为0，灯F亮记为1，灭记为0，则灯F与开关A、B的与逻辑关系可用表1.9所示的真值表来描述。;

2)与逻辑表达式

与逻辑用逻辑表达式可以表示为：

与逻辑称为与运算或逻辑乘。符号“”表示逻辑乘，读作“与”，在不致混淆的情况下，常省去“·”

与逻辑的运算规则如下。

0·0=00·1=01·0=01·1=1

含有逻辑变量的与逻辑的一般形式如下。

A·0=0A·1=AA·A=A;3)与逻辑符号图形

与门：能实现与逻辑运算的电路，其符号图形如1.2所示：

;2.或逻辑(或运算)

或逻辑表示的逻辑关系为：决定某一事件结果的所有条件中，只要有一个或几个条件具备，结果就会发生。例如图1.3所示的电路中，开关A和开关B中有一个闭合或两个都闭合时，灯F就会亮，只有两个都断开，灯才不亮，这种因果关系称为或逻辑。;或逻辑的描述方法：

真值表：灯F、开关A和B的或逻辑关系如表所示。

2)或逻辑表达式

在逻辑代数中，或逻辑称为或运算或逻辑加，符号“+”表示逻辑加，读作“或”。在有些文献中，也有采用V、U等符号来表示逻辑加，或逻辑的运算规则如下：

0·0=00·1=01·0=01·1=1

含有逻辑变量的或逻辑的一般形式如下。

A+0=A A+1=1A+A=A

;3)或逻辑符号图形

或门：能实现或逻辑运算的电路，其符号图形??1.4所示：

;3.非逻辑(非运算)

非逻辑表示的逻辑关系为：当条件具备时，结果不会发生；而条件不具备时，结果就会发生。如图1.5所示的电路中，当开关A断开时，灯F才会亮；而当开关A闭合时，灯不亮，这种因果关系称为非逻辑。;

非逻辑的描述方法：

真值表：灯F的状态总是与开关A的状态相反。

2)非逻辑表达式

非逻辑用逻辑表达式可以表示为：

符号“-”表示“逻辑非”或“非逻辑”，读作“非”。

非逻辑的运算规则：

含有逻辑变量的非逻辑的一般形式如下。;3)非逻辑符号图形

非门：能实现非逻辑运算的电路，其符号图形如1.4所示：

;4.组合逻辑运算

基本逻辑运算进行组合，可以获得与非、或非、与或非、异或、同或等组合逻辑运算。

各种组合逻辑运算的表达式如下。

1)与非逻辑运算

2)或非逻辑运算

3)与或非逻辑运算

4)异或逻辑运算

异或逻辑运算基本规则和含有变量的逻辑运算规则如下：;

5）同或逻辑运算P=A⊙B=

同或逻辑运算的一般形式：

0⊙0=10⊙1=01⊙0=01⊙1=1

和含有变量的同或逻辑运算的形式如下：

A⊙0=A⊙1=AA⊙=0A⊙A=1

;

;1.2.2逻辑代数的基本公式

1.逻辑函数相等

设两个逻辑函数和都是变量的逻辑函数，若对应于的任意一组状态组合，F和G的值都相同，则称F和G相等，记为。

也就是说，如果，则它们应该有相同的真值表；反过来，如果F和G的真值表相同，则。因此，要证明两个逻辑函数相等，可以列出它们的真值表，如果完全一样，则这两个逻辑函数相等。在列真值表时，为了避免遗漏可能的取值，可将变量按照二进制的递增顺序排列，则真值表的列数为(是变量数)，行数为。;【例1-21】设，

试证明。

证：列出真值表，如当时，有，

依次类推可列出F和G的真值表。;2.基本公式

逻辑代数的基本公式是一些不需要证明的恒等式，它们是逻辑代数的基础，利用这些基本公式可以推导和证明逻辑代数中的其他定理和公式。

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