北师大版高中数学选择性必修第一册课后习题 数学文化

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数学文化

【数学文化简介】

数学不仅是一门科学,也是一种文化,即“数学文化”;数学文化是人类文化的重要组成部分,是人类精神与社会进步的产物,也是推动社会发展的动力.对于数学文化,这在近几年的高考试题中有所体现.我国古代数学里有大量的实际问题,世界的数学宝库中也有很多经典的实例,同时也应了解当前的一些新科技和一些优秀科学家的杰出贡献.将数学文化融合到问题当中,这些问题同时也体现了应用性的考查,要引起学生的重视.比如在《九章算术·方田》《九章算术·商攻》《圆锥曲线论》等著作中有较多关于本册知识的典型案例.

【数学文化举例】

第一章直线与圆

1.赵州桥是当今世界上建造最早、保存最完整的我国古代单孔敞肩石拱桥(图1).若以赵州桥跨径AB所在直线为x轴,桥的拱高OP所在直线为y轴,建立平面直角坐标系(图2),桥的圆拱APB所在的圆的方程为x2+(y+20.7)2=27.92,求|OP|.

(图1)

(图2)

解在方程x2+(y+20.7)2=27.92中,令x=0,

则(y+20.7)2=27.92,

解得y1=7.2,y2=-48.6(舍去).

∴|OP|=7.2.

A.64π B.16π C.4π D.2π

解析设M(A|=(x+3

同理|MB|=(x

而|MA||

化简,得3x2-30x+27+3y2=0,即x2-10x+9+y2=0,整理,得(的轨迹是以(5,0)为圆心,4为半径的圆,

∴动点M的轨迹围成的面积为4×4×π=16π.

答案B

第二章圆锥曲线

A.23 B.33

解析设A(-a,0),B(a,0),M(满足|MA

则(x+a)2

化简得AB面积的最大值为8,△MCD面积的最小值为1,∴12×2a×43a=8,

解得a=6,b=62

∴椭圆的离心率为1

答案D

2.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著.第九章“勾股”,讲述了勾股定理及一些应用.直角三角形的两直角边与斜边的长分别称“勾”“股”“弦”,且“勾2+股2=弦2”.设F是椭圆x2a2+y

A.3-1 B

C.3-

解析∵|AF|,|BF|恰好是Rt△ABF的“勾”“股”,

∴AF⊥BF,∴OA=OB=OF=c.

∴Ac2,3

∴c

即a2-b

b2a22+6·b2a2-3=0?b2a2

∴e=3-1.

答案A

3.位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥(如图所示)有“仙境之桥”之称,它的桥形可近似地看成抛物线,该桥的高度为h,跨径为a,则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为()

A.a2

C.a2

解析根据题意,以桥顶为坐标原点,桥形的对称轴为y轴建立如下图所示的平面直角坐标系,该抛物线方程可写为x2=-2py(p0).∵该抛物线经过点a2,-h,代入抛物线方程可得a24=2hp,解得p=a28h,

答案A

4.

古希腊数学家阿波罗尼斯在他的著作《圆锥曲线论》中记载了用平面切割圆锥得到圆锥曲线的方法.如图,将两个完全相同的圆锥对顶放置(两圆锥的轴重合),已知两个圆锥的底面半径均为1,母线长均为2,记过圆锥轴的平面ABCD为平面α(α与两个圆锥面的交线为AC,BD),用平行于α的平面截圆锥,该平面与两个圆锥侧面的截线即为双曲线Γ的一部分,且双曲线Γ的两条渐近线分别平行于AC,BD,则双曲线Γ的离心率为()

A.23

C.3

解析两个圆锥的底面半径为r=1,母线长均为l=2,

可得圆锥的高为h=22

由双曲线Γ的两条渐近线分别平行于AC,BD,

设双曲线的渐近线方程为y=±ba

即有ba=

答案A

第三章空间向量与立体几何

1.中国古代数学家名著《九章算术》中记载:“刍甍者,下有袤有广,而上有袤无广.刍,草也.甍,屋盖也.”翻译为“底面有长有宽为矩形,顶部只有长没有宽为一条棱.刍甍就是茅草屋顶.”现有一个刍甍如图所示,四边形ABCD为正方形,四边形ABFE,CDEF为两个全等的等腰梯形,AB=4,EF??12AB,若这个刍甍的体积为

A.13 B

C.53

解析取CD,AB的中点M,N,连接FM,FN,

则多面体分割为棱柱与棱锥两个部分,

设E到平面ABCD的距离为h,

则12×4×h×2+13

∴h=2,

∵CN=16+4=25,

∴CF=5+4=3,

∵CD∥AB,

∴∠FCD为异面直线AB与CF所成角,

在△FCM中,FM=FC=3,CM=2,

∴cos∠FCD=9+4

答案A

2.我国古代《九章算术》里,记载了一个例子:今有羡除,下广六尺,上广一丈,深三尺,末广八尺,无深,袤七尺,问积几何?该问题中的羡除是指如图所示的五面体ABCDEF,其三个侧面皆为等腰梯形,且AB∥CD∥EF,两个底面为直角三角形,且BC⊥CF,AD⊥DE,其中AB=6尺,C

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