《d12数列的极限》课件

第一章二、收敛数列的性质三、极限存在准那么一、数列极限的定义第二节数列的极限

数学语言描述:一、数列极限的定义引例.设有半径为r的圆,逼近圆面积S.如下图,可知当n无限增大时,无限逼近S.当nN时,用其内接正n边形的面积总有刘徽

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问题:当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?问题:“无限接近〞意味着什么?如何用数学语言刻划它.通过上面演示实验的观察:“无限接近〞的含义：只要n足够大，可以小于任意给定的小正数。

无论它多么小，

定义:自变量取正整数的函数称为数列,记作或称为通项(一般项).假设数列及常数a有以下关系:当nN时,总有记作此时也称数列收敛,否那么称数列发散.几何解释:即或那么称该数列的极限为a,

例如,趋势不定收敛发散

如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意：

几何解释:其中

例1.证明数列的极限为1.证:欲使即只要因此,取那么当时,就有故

例2.证明证:欲使只要即取那么当时,就有故故也可取也可由N与?有关,但不唯一.不一定取最小的N.说明:取

例3.设证明等比数列证:欲使只要即亦即因此,取,那么当nN时,就有故的极限为0.

例证成立.由极限的定义可知:

小结〔1〕用定义证数列极限存在时,关键是任意给定?0寻找N,使当nN时，〔2〕为了找到上述N，常常先将适当放大为再令并从中能方便的解出此时取〔3〕有时为了方便，在不阻碍?可以任意小的前提下，可事先设?小于某个正数。

二、收敛数列的性质证:用反证法.及且取因故存在N1,从而同理,因故存在N2,使当nN2时,有1.收敛数列的极限唯一.使当nN1时,假设从而矛盾,因此收敛数列的极限必唯一.那么当nN时,故假设不真!满足的不等式

例4.证明数列是发散的.证:用反证法.假设数列收敛,那么有唯一极限a存在.取那么存在N,但因交替取值1与－1,内,而此二数不可能同时落在长度为1的开区间使当nN时,有因此该数列发散.

2.收敛数列一定有界.证:设取那么当时,从而有取那么有由此证明收敛数列必有界.说明:此性质反过来不一定成立.例如,虽有界但不收敛.有数列

3.收敛数列具有保号性.假设且有证:对a0,取推论:假设数列从某项起(用反证法证明)

保号性定理的推论2：在极限存在的前提下,对不等式两边可以同时取极限,不等号的方向不变,但严格不等号也要改为不严格不等号

子数列的概念在数列{xn}:x1,x2,?,xn,?中,保持各项原来的先后次序不变,自左往右任意选取无穷多项所构成的新的数列,称为原数列的一个子数列,记为

*********************4.收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.证:设数列是数列的任一子数列.假设那么当时,有现取正整数K,使于是当时,有从而有由此证明*********************

三、极限存在准那么由此性质可知,假设数列有两个子数列收敛于不同的极限,例如，发散!夹逼准那么;单调有界准那么;*柯西审敛准那么.那么原数列一定发散.说明:

1.夹逼准那么(准那么1)(P50)证:由条件(2),当时,当时,令那么当时,有由条件(1)即故

例5.证明证:利用夹逼准那么.且由

2.单调有界数列必有极限(准那么2)(P52)(证明略)

例6.设证明数列极限存在.(P53～P54)证:利用二项式公式,有

大大正又比较可知

根据准那么2可知数列记此极限为e,e为无理数,其值为即有极限.又内容小结

*3.柯西极限存在准那么(柯西审敛原理)(P55)数列极限存在的充要条件是:存在正整数N,使当时,证:“必要性〞.设那么时,有使当因此“充分性〞证明从略.有柯西

内容小结1.数列极限的“?–N〞定义及应用2.收敛数列的性质:唯一性;有界性;保号性;任一子数列收敛于同一极限3.极限存在准那么:夹逼准那么;单调有界准那么;*柯西准那么

收敛的数列必有界.有界的数列不一定收敛.无界的数列必发散.发散的数列不一定无界.

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