工程电磁场数值分析(有限元法)解读课件

工程电磁场数值分析（有限元法）华中科技大学电机与控制工程系陈德智2007.12

第4章电磁场有限元法（FiniteElementMethod,FEM）有限元法可以基于变分原理导出，也可以基于加权余量法导出，本章以加权余量法作为有限元法的基础，以静电场问题的求解为例介绍有限元法的基本原理与实施步骤。并介绍有限元法中的一些特殊问题。

第4章电磁场有限元法（FEM）1.有限元的基本原理与实施步骤2.有限元方程组的求解3.前处理与后处理技术4.渐近边界条件5.矢量有限元法6.求解运动导体涡流问题的迎风有限元法

1.有限元法的基本原理与实施步骤?加权余量法回顾：对算子方程用作为该方程的近似解（试探解）：代入方程得余量：在有限元法中，基函数一般用表示。采用Galerkin方案，取权函数与基函数相同。使与余量正交化：

加权余量法回顾（续）设L为线性算子，代入，得或记得代数方程组：

?场域离散以二维静电场泊松方程的求解为例。二维问题常使用三角形单元离散，便于处理复杂的场域形状，容易实现。单元：互不重叠，覆盖全部场域；每个单元内介质是单一、均匀的。节点：网格的交点，待求变量的设置点。需要记录信息：节点编号、节点坐标节点属性(激励源、是否边界等)单元编号单元节点编号单元介质

目标：建立节点变量之间满足的代数方程组，即确定系数{K}和ij{b}。依据的原理是加权余量法i使用的基函数为分域基。?基函数有限元采用分片逼近的思想，跟使用折线逼近一条任意曲线的做法相同。使用分域基N，基函数i的个数等于节点的个数；每个基函数N的作用区域是与该节点i相i关联的所有单元。

在积分中，对于确定的i，j的有效取值为i本身以及与节点i相联的周围节点，积分的有效区域为以i、j为公共节点的所有三角形单元，在这些单元中N、Nij才有交叠。这些积分可以分单元进行。例如对右图所示的局部编码，K、K以及0100b0的计算公式为：

以下把单元e的贡献记为这样，就有每个或的计算都在具体的单元内单独考虑（称为单元分析）。

?三角形单元内的基函数设三角形三个顶点处待求函数值分别为u,u,u。如果单元足够小，123可以采用线性近似，将单元内任意p点的u(x,y)表示为代入三个顶点的坐标和函数值，可以解出a、b、c。得到

其中，单元节点的编号按逆时针方向排列！

记住我们的任务—寻找基函数对比可得基函数N常被称为插值函数或者形状函数，具有以下性质：i（1）是插值的；（2）（3）在相邻单元的公共边界上，N是连续的，从而通过N构造的逼近函数也是连续的。ii

?单元分析：计算单元内积分对系数阵和右端项元素的贡献。系数阵元素：当L为拉普拉斯算子时，由于N在单元i内是(x,y)的线性函数，经Laplace算子作用后值为0。但是，在相邻单元的边界上，N是连续但是不光滑的，因此对i积分的贡献主要来自边界。为考虑单元边界的影响，需要借助于格林公式：

格林公式：因：故，

写成一般形式，若一个三角形三个顶点编号为i,j,m（逆时针顺序），则从而

再看边界部分：（1）在节点i的对边G上，N＝0，故积分贡献为0；jmi（2）在节点i的邻边G上，由于计算ijK时需要把具有公共邻边的单元的积ij分累加，此二单元的N是连续的；对i于单一均匀媒质，要求相邻单元满足，故积分的贡献相互抵消。结论：单元边界对积分的贡献为0。所以单元e为系数阵元素的贡献为：

右端项元素：由于单元很小，做单元分析时通常可以取f(e)为常数值（可以认为等于三个顶点上的平均值）。因此公式：

?通过上述过程，对于一个“正常”的内部节点就建立起了一个代数方程。“非正常”的节点包括：媒质交界面衔接条件和场域边界条件，稍后再讨论。?上述以节点为序的分析过程对于有限元原理的说明是易于理解的。而在实际编程中，更有效率的是以单元为序，逐个计算单元系数阵[K(e)]，然后合成整体系数阵[K]。单元系数阵[K(e)]定义为设i,j,k是节点的整体编号，元素K在整体矩阵中的实际位ij置是第i行、j列；因此必须合成到整体矩阵的第i行、j列元素上。

?媒质交界面衔接条件对于静电场问题，媒质分界面衔接条件为第一个条件是自动满足的（Why？），无须格外处理。对于第二个条件，前面计算单元边界上积分时，默认两边j的法向导数相等，使内边界上的积分结果抵消。因此只要把泊松方程写成或满足的条件将是,从而也无需另行处理。

?媒质交界面衔接条件由于有限元方法能够自动满足媒质交界面条件，因此有限元法特别适合于处理多层复杂媒质问题。这是其它方法无可比拟的。

?第一类边界条件（强加边界条件）第一类边界节点是指边界上函数值已知。因此处理方法是，合成整体系数阵之后，将该节点所在行的主元素

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