清华大学2024年强基计划笔试
1.点．求满足的整点的个数.
2.均为正数，则的最大，最小值是否存在？是多少？
3.点集且，则由中的点可以组成多少个不同的三角形？
4.抛物线，焦点为．过焦点的直线交于两点．过作平行于点切线的直线交于点，交轴于点．设，则（）
A.．
B.最大值为16．
C.
D.
5.非负，则的最大值和最小值是否存在？是多少？
6.．则（）
A.若有两个解，则．
B.若有最小值，则．
C.若有最小值，则．
D.若有两个解，则．
7.圆上7点所成线段中任取两条，这两条线段无公共点概率为？
8.复方程的所有复数根的平方和为？
9.已知，则可以是（）
A.
B.
C.
D.
10.在有解，则可能的取值为？
11.在内有三个不等实根，则的取值范围？
12.，则（）
A.
B.
C.
D.
13.已知复数满足，，则的最小值为？
14.四面体中，.求与所成角余弦最值．
15.正四面体中，棱长为．点满足，则的（）
A.最小值．
B.最大值为
C.最小值为
D.最大值为
16.已知正方体，初始时与重合，每一步都等可能得移动到相邻顶点，记移动步后仍在面上概率为，则（）
A.移动步后，仍在点的概率为
B.
C.
D.与的递推式为
17.，，则（）
A.
B.
C.
D.
18.复数列，且，则的最大值是______．
19.某区域仅有东西向或南北向道路，某人从区域中心出发后又回到起点，且路途中不经过重复区域，已知此人左转次，则其右转次数可以是（）
A.
B.
C.
D.
20.正整数均不大于，且满足．求满足这样条件的的组数．
21.的所有极值点依次为的，则______．
22.有零点，则的最小值为多少.
23.1.是在上的连续函数,设,则（）.
A. B. C. D..
24.双曲线，斜率为的直线与交于两点，点在上，且，的外心为，的重心为，的重心为，，则的离心率______．
25.，使得的解的组数有______组．
26.，则等于多少？比较与.
清华大学2024年强基计划笔试
1.点．求满足的整点的个数.
【答案】65
【分析】设，直线的方程为，，设，则，把，代入，讨论可得答案.
【详解】设，直线的方程为，即，
，
设，则，
代入，化简得，
当时，，，有5个整点；
当时，，，有5个整点；
当时，，，有5个整点；
当时，，，有5个整点；
当时，，，有5个整点；
当时，，，有5个整点；
当时，，，有5个整点；
根据对称性，当时，也分别有5个整点，
所以共有65个整点.
2.均为正数，则的最大，最小值是否存在？是多少？
【答案】存在，的最大值为3，最小值为.
【分析】根据已知条件进行化简，构造函数利用函数导数判断函数的单调性，解出最值，再根据条件限制范围；
【详解】由题意知，，
令则，且
令，则，令，则
递增，递减；所以，此时，
因此
所以的最大，最小值存在，的最大值为3，最小值为.
3.点集且，则由中的点可以组成多少个不同的三角形？
【答案】1056
【分析】利用组合数的知识结合图象分析即可.
【详解】总共有种,
如图，三点共线（粗虚线）有8组，
四点共线有9组（图中实线加上5条竖线），
五点共线有4组，
于是一共能组成种.
故答案为：1056.
4.抛物线，焦点为．过焦点的直线交于两点．过作平行于点切线的直线交于点，交轴于点．设，则（）
A.．
B.的最大值为16．
C.
D.
【答案】CD
【分析】对于，设直线的方程为，联立抛物线方程用韦达定理即可判断；
对于，求导得，则直线的斜率为，进而可得直线的方程，联立抛物线方程用韦达定理即可判断；
对于，过作轴平行线交于，结合选项知，的面积等于的2倍，根据直线的方程可得，可求，进一步可求得，利用基本不等式结合即可判断．
对于，由直线的方程可得坐标，进一步可得，即可判断；
【详解】
如图所示，切线记为，记为．
对于，直线的斜率存在，故设直线的方程为，
联立，消去得，，
所以，故，故错误；
对于，因为，所以，则直线的斜率为，
故直线方程为，即，
联立，消去得，故，故正确；
对于，不妨设，过作轴平行线交于，根据选项知，的面积等于的2倍．（下面证明一下）,
，，由D选项的证明知道，则
直线的方程为，当时，，
故，由选项知，
故
，当且仅当，即时取等号，
即，所以，故错误．
对于，由直线的方程可得，，，
所以，故正确；
故选：CD.
5.非负，则的最大值和最小值是否存在？是多少？
【答案】存在最小值，最小值为2，不存在最大值
【分析】由题意，中至多一个数为0，不妨设，可得，当
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