空间向量的概念与运算课件-2025届高三数学一轮复习

;;;第一部分;1.空间向量的有关概念;2.空间向量的有关定理

(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使.

(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在的有序实数对(x，y)，使p＝.

(3)空间向量基本定理

如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝.{a，b，c}叫做空间的一个基底.;3.空间向量的数量积及运算律

(1)数量积

非零向量a，b的数量积

a·b＝.;(2)空间向量的坐标表示及其应用

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).;?;4.空间位置关系的向量表示

(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在的直线与直线l平行或重合，那么称此向量a为直线l的方向向量.

(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则称向量a为平面α的法向量.;(3)空间位置关系的向量表示;1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)

(1)空间中任意两个非零向量a，b共面.()

(2)空间中模相等的两个向量方向相同或相反.();√;;3.(选择性必修第一册P30例3改编)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是

A.相交 B.平行

C.垂直 D.不能确定;;;4.设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，则m＝______.;第二部分;例1(1)(2023·淮安模拟)设x，y是实数，已知三点A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(x,3，y＋2)在同一条直线上，那么x＋y等于

A.2B.3C.4D.5;;√;;用已知向量表示某一向量的三个关键点

(1)要结合图形，以图形为指导是解题的关键.

(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义.

(3)在立体几何中，三角形法则、平行四边形法则仍然成立.;跟踪训练1(1)已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝－2a，则x等于

A.(0,3，－6) B.(0,6，－20)

C.(0,6，－6) D.(6,6，－6);(2)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点.;;例2(1)下列命题正确的是

A.若a与b共线，b与c共线，则a与c共线

B.???量a，b，c共面，即它们所在的直线共面

C.若空间向量a，b，c不共面，则a，b，c都不为0

D.若a，b，c共面，则存在唯一的实数对(x，y)，使得a＝xb＋yc;;(2)(多选)下列说法中正确的是

A.|a|－|b|＝|a＋b|是a，b共线的充要条件;;;应用共线(面)向量定理证明点共线(面)的方法比较;√;;√;;;例3如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.

(1)求线段AC1的长；;;(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值；;;;(3)求证：AA1⊥BD.;空间向量的数量积运算有两条途径，一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算.;√;;0;;;例4如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点.

(1)求证：B1E⊥AD1；;;;(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由.;;;;(1)利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及直线、平面的要素).

(2)向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理.;跟踪训练4如图，已知四棱锥P－ABCD的底面是平行四边形，侧面PAB是等边三角形，BC＝2AB，AC＝，PB⊥AC.

(1)求证：平面PAB⊥平面ABCD；;;(2)设Q为侧棱PD上一点，四边形BEQF是过B，Q两点的截面，且AC∥平面BEQF，是否存在点Q，使得平面BEQF⊥平面PAD？若存在，求的值；若不存在，说明理由.;;;;;;一、单项选择题

1.已知直线l的一个方向向量为m＝(x,2，－5)，平面α的一个法向量为n＝(3，－1,2)，若l∥α，则x等于

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