管理运筹学 课件 12排队论

(2)(3)(4)因客满而离去的概率为0.048(5)当N=6时即增加一个座位可以减少顾客损失率1.6%例:某汽车加油站有一台油泵为汽车加油，站内可容纳4辆汽车，当站内停满车时，后来的汽车只能到别处加油。若需加油的汽车按泊松流到达，平均每小时4辆。每辆车加油所需时间服从负指数分布，平均每辆需12min，试求系统有关运行指标。?分析为什麽是M/M/1/4/∞/FCFS排队系统？?选用适当公式计算有关指标λ=4(辆/小时)，μ=1/(12/60)=5(辆/小时),于是：P1≈0.2380P2≈0.1904P3≈0.1523P4≈0.1218①②Ls=P1+2P2+3P3+4P4=1.5629③λe=λ(1-P4)=4(1-0.1218)=3.5128④Ws=Ls/λe=1.5629/3.5128=0.4450(h)⑤Wq=Ws-1/μ=0.245(h)⑥Lq=Wqλe=0.86⑦λ损=λ-λe=0.4872⑧T忙=(1-P0)/λeP0=0.8(h)三、顾客源为有限制，即M/M/1/∞/m设顾客总数为m。当顾客需要服务时，就进入队列等待；服务完毕后，重新回到顾客源中，如此循环往复。由于顾客源的数量有限，因此队列的长度也是有限的，并且队列的长度必定小于顾客源总数。典型的有限顾客源问题是机器维修问题。有m台机器在运转，单位时间内平均出现故障的机器数即为顾客平均到达率λ，修理工修理一台设备的平均时间为平均服务时间μ，已修复的机器仍然可能再出现故障。1、系统的特征2、状态转移速度图012n-1n…n+1m-1m…3、状态概率方程：4、系统的运行指标：3、排队系统的优化研究排队系统最优设计的静态优化和研究排队系统最优控制的动态优化。?最优设计：通常是在输入和服务参数给定的条件下，确定系统的设计参数（如服务台数量），以求系统运行指标达到最优。?最优控制：在系统运行的参数可以随时间或状态而变化的情况下（如服务率随顾客数的变化而改变）根据系统的实际情况假设一个合理或实际可行的控制策略，然后分析确定系统运行的最佳参数或者是对一个具体系统研究一个最佳的控制策略。研究排队系统的目的就是通过对该系统概率规律的研究，达到系统的最优设计和最优控制，以最少的费用实现系统的最大效益。即使服务系统既能在适当的程度上满足顾客需求，同时又使所需费用达到最小。服务费用等待费用费用服务水平总费用费用优化示意图1、泊松分布（Poisson）也称为泊松流，在排队论中常称为最简单流。?概率分布：其中，λ0为一常数，t≥0。求N(t)的数学期望得:则λ=E[N(t)]/t。因此，λ表示单位时间内到达系统的平均顾客数,又称平均到达率。五、排队系统中常见的几种典型理论分布?最简单流的4个基本性质：?平稳性：在时间段t内，恰有n个顾客到达系统的概率P{N(t)=n}仅与t的长短有关,而与该时间段的起始时刻无关；?无后效性：在不相交的时间区间内到达的顾客数是相互独立的。如：在[a，a+t]时段内到达K个顾客的概率与时刻a之前到达多少顾客无关；?普通性：在充分小的间隔时间内至少到达两个顾客的概率ψ(Δt)=o(t),t→0,即?有限性：在任意有限的时间区间内，到达有限个顾客的概率为1，即?泊松流在排队论中的意义：?实际问题中最常见；?数字处理简单；?当实际流与泊松流有较大出入时，经过一定的变换，结果也可达到一定的精度；2、负指数分布?密度函数和分布函数：?数学期望和方差：?定理6-1顾客到达服从参数为λ的泊松分布等价于顾客相继到达的间隔时间是独立的且同为负指数分布。参数μ0表示单位时间内完成服务的顾客平均数,称为平均服务率。?3、爱尔朗分布当顾客在系统内所接受的服务可以分为K个阶段，每个阶段的服务时间T1，T2，…，Tk为服从同一分布（参数为kμ的负指数分布）的k个相互独立的随机变量，顾客在完成全部服务内容并离开系统后，另一个顾客才能进入服务系统，则顾客在系统内接受服务时间之和T=T1+T2+…+Tk服从k阶爱尔朗分布Ek，其分布密度函数为：相应的数学期望和方差为：当k=1时，爱尔朗分布归结为负指数分布，当k增大时，图形逐渐变为对称的，当k≥30时，近似于正态分布，当k→∞，由D(T)=0可知,爱尔朗分布归结为定长分布。因此，爱尔朗分布类可以看成完全随机与

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