第05讲二次函数利润问题的四种题型(原卷版+解析)

第05讲二次函数利润问题的四种题型

题型一：“每每”的利润问题

商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场每天可多售出2件，设每件商品降低x元，

“每每”问题的做题步骤

①找出原来的销量：30件，原来的每件盈利：50元；

②确定每件产品降价（或涨价）后的利润：（50-x）元；

③计算出降价（或涨价）后销量的变化量：2x件；

④找出降价（或涨价）后的销量，本题里有明确的“多出”字样，即为：（30+2x）件；

⑤利润=每件利润×数量：y

计算注意事项

①若题中要求价格为整数，而二次函数的对称轴不是整数，要用二次函数的性质取适当的整数求最值；

②结果可能不唯一，例如题中要求结果为整数，而对称轴是51.5，那么51和52都可以；

③看清楚题中是否有“最优惠”等条件，算出多个结果需要舍根。

【例1】商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场每天可多售出2件，设每件商品降低x元，据此规律，请回答：

(1)商场日销售量增加件，每件商品盈利元（用含x的代数式表示）；

(2)在上述条件不变，销售正常的情况下，设商场日盈利y元，求y与x的函数关系式；

(3)在（2）的条件下，每件商品降价多少元时，商场日盈利最高？

1.（2023·贵州遵义·三模）红星公司销售一种成本为4元/件的产品，若月销售单价不高于5元/件.一个月可售出5万件；月销售单价每涨价1元，月销售量就减少万件.其中月销售单价不低于成本.设月销售单价为x（单位：元/件），月销售量为y（单位：万件）.

(1)直接写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(2)当月销售单价是多少元/件时，月销售利润最大，最大利润是多少万元？

(3)为响应国家“乡村振兴”政策，该公司决定在某月每销售件产品便向大别山区捐款a元，已知该公司捐款当月的月销售单价不高于70元/件，月销售最大利润是78万元，求a的值

2．（2023·辽宁朝阳·模拟预测）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，每件商品每降价1元，商场每天可多售出2件，设每件商品降低x元据此规律，请回答：

(1)商场日销售量增加件，每件商品盈利元（用含x的代数式表示）；

(2)在上述条件不变，销售正常的情况下，设商场日盈利y元，求y与x的函数关系式；

(3)在（2）的条件下，每件商品降价多少元时，商场日盈利最高？

3．（贵州遵义·统考一模）某水果批发店销售一种优质水果，已知这种优质水果的进价为元/千克．经市场调查发现：若售价为元/千克时，每天的销售量为千克；若售价每千克提高元，每天的销售量就会减少千克．设每天的销售量为千克，每千克的售价为元．请解答以下问题：

(1)为让利给顾客，当这种优质水果售价为多少时，每天可获得利润元．

(2)当售价定为多少时，每天可获得最大利润，并求最大利润是多少？

4．（2023·四川巴中·统考中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗，市场上猪肉粽进价比豆沙粽进价每盒贵10元，一盒猪肉粽加两盒豆沙粽进价为100元．

(1)求每盒猪肉粽和豆沙粽的进价；

(2)在销售中，某商家发现当每盒猪肉粽售价为50元时，每天可售出100盒，若每盒售价提高1元，则每天少售出2盒．设每盒猪肉粽售价为元，销售猪肉粽的利润为元，求该商家每天销售猪肉粽获得的最大利润．

5．（2023·山东青岛·统考中考真题）李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱．

(1)请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式；

(2)若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？

6．（2023·贵州铜仁·统考中考真题）为实施“乡村振兴”计划，某村产业合作社种植了“千亩桃园”．2022年该村桃子丰收，销售前对本地市场进行调查发现：当批发价为4千元/吨时，每天可售出12吨，每吨涨1千元，每天销量将减少2吨，据测算，每吨平均投入成本2千元，为了抢占市场，薄利多销，该村产业合作社决定，批发价每吨不低于4千元，不高于5.5千元．请解答以下问题：

(1)求每天销量y（吨）与批发价x（千元/吨）之间的函数关系式，并直接写出自变量x

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