第二章--应力状态理论

**上式是ni的线性代数方程组。其非零解存在条件：方程（*）称为应力状态的特征方程，它的三个特征根即为主应力。I1、I2、I3分别称为应力张量的第一、第二和第三不变量。**由于方程（*）的根不变，故方程总的系数一定为不变量。如果坐标轴恰好与三个主方向重合，则应力张量简化为？主坐标系，主向空间？主应力的几个重要性质：（1)不变性：从物理意义上讲，主应力是物体内部受外部确定因素作用时客观存在的量。（2）实数性（3）正交性（4）极值性：通过一点的所有微分面上的全应力中，最大和最小的全应力分别是绝对值最大和最小的主应力。**弹性理论的适用范围是由材料的屈服条件来确定的。大量实验证明，剪应力对材料进入塑性屈服阶段起决定性作用，例如第三强度理论，又称特雷斯加（TrescaH)屈服条件，是以最大剪应力为材料是否进入塑性屈服阶段的判据；第四强度理论，又称米泽斯（VonMisesR)屈服条件，则与八面体剪应力有关。思考题：在点M应力σi已知的主坐标空间中求最大剪应力计算式？**2.6转轴时应力分量的变换当坐标系改变时，通过一点的各应力分量应如何改变。可以证明，当坐标平移式，应力张量中的各应力分量不会改变，我们只研究当坐标旋转时，应力张量的变换。设在笛卡尔坐标系oxyz下，某点的9个应力分量为：**现在让坐标系转过某一角度，得到新的坐标系设它与老坐标之间的关系为：其中表示3个新坐标轴对于老坐标轴的方向余弦，如果：xyz**其中新坐标系下的应力可表示为：**其中，过M点并与轴垂直的微分面对老坐标轴是倾斜微分面，它的法线方向即为轴方向，其方向余弦为，固有斜面上的应力可表示为：将此式代入上页公式整理可得:****应力分量为二阶张量，应力分量的坐标变换公式为用指标符号记为**以平面应力状态为例，设新坐标系由原坐标系逆时针转动θ而成，新坐标轴的基矢e1、e2对原基矢e1、e2的过渡矩阵为式[lij]=l，则坐标变换公式[σij]=l[σij]lT**其展开形式为**当坐标系变化时，应力分量也发生变化，当坐标系转动到某些位置时，应力分量中切应力为零，仅有正应力不为零，这些正应力称为主应力。这时坐标系所指方向为主方向。从变换的角度来说，主应力是应力矩阵的特征值，主方向是特征向量的方向。2.7圣维南原理如果把物体的一小部分边界的面力变换为分布不同静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。****总结求解的应力应满足平衡微分方程和应力边界条件，在空间应力状态有六个未知的应力函数，只有三个平衡方程；在平面应力状态有三个未知的应力函数，只有两个平衡方程，问题是静不定的，需要从变形和物理关系方面补充方程才能求解。边界条件主要是用来确定解出的应力中的未定常数。2.8例题**已知受力物体中某点的应力分量为σx＝0，σy＝2a，σz＝a,τxy=a,τyz=0,τzx=2a。试求作用在过此点的平面x+3y+z=1上的沿坐标轴方向的应力分量，以及该平面上的正应力和剪应力。如图所示的矩形截面梁，在均匀载荷作用下，由材料力学得到的应力如下式。试检验该公式是否满足平衡方程和边界条件，并推出σy的表达式。****作业:p28页2-8,2-10,2-13题*第二章应力状态理论**应力的概念是固体力学的最重要的概念之一,应力分量具有张量的性质，符合张量的坐标变换规律。考虑单元体的平衡，得到平衡微分方程，在边界上得到边界条件，边界条件在弹性力学问题的求解中占有重要的地位。**2.1张量的概念2.2应力和一点的应力状态2.3平衡微分方程2.4边界条件2.5主应力和应力张量不变量2.6转轴时应力张量的变换2.7圣维南原理2.8例题2.1张量的概念指标符号(1)量与数：任何一个量都是客观对象的数学表征，通常是由若干个数字给出的，最简单的量称为标量，由一个数字确定。矢量有

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