相似矩阵及二次型(共46张课件)

相似矩阵及二次型;一.概念(gàiniàn):

1.特征值,特征向量:;;设为的一个特征值，为其对应的特征向量，则;解：A的特征多项式为;当时，对应的特征向量应满足;解：A的特征多项式为;当时，解方程;例3：求矩阵特征值和特征向量。;;(2)标准型中非平方项的个数是惟一的.

例1：用配方法把二次型:

的特征向量。

特征值的性质(xìngzhì)：

例2：求矩阵的特征值和特征向量.

注:(1)二次型化标准型不是(bùshi)惟一的.

可对角化矩阵(jǔzhèn)的幂:

相似(xiānɡsì)，则称A可对角化。

第二十一页，共46页。

当为复数时，称为复二次型；

1)定理2:任给二次型,有可逆变换

可对角化矩阵(jǔzhèn)的幂:

求的解;三.特征值的性质(xìngzhì)：;四.特征向量的性质(xìngzhì)：

1.定理2:;六.补充(bǔchōng)定理;;;一.矩阵(jǔzhèn)相似;;1.概念:若n阶矩阵(jǔzhèn)A与对角阵;注：设A的n个线性无关(wúguān)的特征向量为，;;;;;;一.二次型及其矩阵(jǔzhèn):;;第二十八页，共46页。;其中;3.二次型与对称(duìchèn)阵互表方法;例1：二次型;例2.求;二.可逆变换(biànhuàn)化二次型为标准型;(2)合同(hétong);2.化标准型方法(fāngfǎ):;3).拉格朗日方法步骤:

(1)f中含有某变量平方项:

①把含有此变量的项归并(guībìng),配方;

②再对其它变量进行配方,直至完全配为平方项.

(2)f中不含变量的平方项:

①用一简单逆变换使f中含有新变量平方项,

②按第一种方法进行.;;;一.正交矩阵(jǔzhèn)与正交变换:;二.正交变换化二次型为标准形:

1.实对称(duìchèn)阵的性质:;3.化标准形步骤：

(1)写出f的矩阵A,

(2)由特征方程求的n个特征值,

(3)求关于(guānyú)的特征向量

1)当为单根时,取一非零特征向量,单位化,;例1：设，求一个正交阵P，使;对于，解方程;;再将单位化，得;例2：用正交变换把化为二次型。

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