三套硕士研究生入学统考数学试题解析

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三套硕士研究生入学统考数学试题解析

12年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

（1）

【答案】：

【解析】：，所以为垂直的

，所以为水平的，没有斜渐近线故两条选

（2）

【答案】：

【解析】：

所以

（3）

【答案】：

【解析】：由于在处连续，可知如果存在，则必有

这样，就可以写成，也即极限存在，可知，也即。由可微的定义可知在处可微。

（4）

【答案】：(D)

【解析】：看为以为自变量的函数，则可知，即可知关于在上为单调增函数，又由于，则，故选D

（5）

【答案】：（C）

【解析】：由于，可知线性相关。故选（C）

（6）

【答案】：（B）

【解析】：，则，

故

故选（B）。

（7）

【答案】：（A）

【解析】：的联合概率密度为

则

（8）【答案】：

【解析】：设两段长度分别为，显然即，故两者是线性关系，且是负相关，所以相关系数为-1

二、填空题：9?14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.

（9）

【答案】：

【解析】：特征方程为，特征根为，齐次微分方程的通解为.再由得，可知。

故

（10）

【答案】：

【解析】：令得

（11）

【答案】：

【解析】：

（12）【答案】：

【解析】：由曲面积分的计算公式可知，其中。故原式

（13）

【答案】：

【解析】：矩阵的特征值为，故的特征值为。又由于为实对称矩阵，是可相似对角化的，故它的秩等于它非零特征值的个数，也即。

（14）

【答案】：

【解析】：由条件概率的定义，，

其中，

，由于互不相容，即，，又

，得，代入得，故.

三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

（15）

【解析】：令，可得

当时，有，，所以，

故，而，即得

所以。

当，有，，所以，

故，即得

可知，

（16）

【解析】：，

先求函数的驻点.，解得函数为驻点为.

又，

所以，故在点处取得极大值.

（17）

【解析】：

（18）

【解析】：（1）曲线在任一处的切线斜率为，过该点处的切线为，令得.由于曲线与轴和轴的交点到切点的距离恒为.

故有，又因为

所以，两边同时取不定积分可得，又由于，所以.故函数.

（2）此曲线与轴和轴的所围成的无边界的区域的面积为：

.

（19）

【解析】：设圆为圆,圆为圆，下补线利用格林公式即可，设所补直线为,下用格林格林公式得：原式

（20）

【解析】：（Ⅰ）

（Ⅱ）

可知当要使得原线性方程组有无穷多解，则有及，可知。

此时，原线性方程组增广矩阵为，进一步化为行最简形得

可知导出组的基础解系为，非齐次方程的特解为，故其通解为

线性方程组存在2个不同的解，有.

即：，得或-1.

当时,，显然不符，故.

（21）

【解析】：1）由可得，

2）

则矩阵

解得矩阵的特征值为：

对于得对应的特征向量为：

对于得对应的特征向量为：

对于得对应的特征向量为：

将单位化可得：

，，

（22）

【解析】：

X

0

1

2

P

1/2

1/3

1/6

Y

0

1

2

P

1/3

1/3

1/3

XY

0

1

2

4

P

7/12

1/3

0

1/12

（1）

（2）

，其中

,

所以，，，,.

（23）

【解析】：（1）因为，且与相互独立，故，

所以，的概率密度为

（2）似然函数

解得最大似然估计值为，

最大似然估计量为

（3）

故为的无偏估计量。

15年全国硕士研究生入学统一考试数学（二）真题解析

一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.

(1)下列反常积分收敛的是()

(A)(B)(C)(D)

【答案】(D)

【解析】，则.

(2)函数在内()

(A)连续

(B)有可去间断点

(C)有跳跃间断点

(D)有无穷间断点

【答案】(B)

【解析】，，故有可去间断点.

(3)设函数,若在处连续则:()

(A)(B)

(C)(D)

【答案】(A)

【解析】时，

时，

在处连续则：得

得：，答案选择A

(4)设函数在内连续，其中二阶导数的图形如图所示，则曲线的拐点的个数为()

(A)(B)(C)(D)

【答案】(C)

【解析】根据图像观察存在两点，二阶导数变号.则拐点个数为2个.

(5)设函数满足，则与依次是

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